【中考专题】费马点模型——解决到3个点距离最短问题的利器!

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关于最值问题:

【中考专题】“PA+kPB”最值模型—“胡不归”与“阿氏圆”

【中考专题】阿氏圆,从入门到精通!

费马点的做法,与“鸡爪”模型有相似之处:

【中考专题】“鸡爪”模型—构造手拉手旋转

关于费马:

【数学故事】费马与费马点

说明:

皮埃尔·德·费马,法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差,他似乎对数论最有兴趣,亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”。费马,是当今常见译法,也翻译作费尔马。80年代的书籍文章也多见译为“费尔玛”的情况,但“费玛”则少见。

费尔马点

如果存在一个点到三角形三个顶点的距离之和为最小,则这个点称为费尔马点。

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解读

如图,点E就是△ABC的费尔马点:

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证明:

情况一:△ABC最大内角小于120°

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C点为旋转中心,将△CDB逆时针旋转60度到△CEF位置。易知DB=EFDC=CE=DE,DA+DB+DC=DA+DE+EF,显然当A、D、E、F四点共线时,距离之和最短。当A、D、E共线时,∠CDA=120°,当D、E、F共线时,∠FEC=∠BDC=120°,所以D点应该对三个顶点的张角都为120°,这就是费尔马点的位置。

情况二:当△ABC有一内角不小于120°时:

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很显然此时点C就是费马点,由此可知如果三角形有一个内角大于等于120°时,费马点就是该内角顶点。

综上所得:我们知道,当△ABC最大内角小于120°时,F△ABC内部,且满足∠BFC=∠CFA=∠AFB=120°;当△ABC有一内角不小于120°时,F点与最大角的顶点重合。

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特别地,如图,以△ABC的三边为边,分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF,连接AD、BE、CF,则有结论:

(1)AD、BE、CF交于一点P,且∠APB=∠APC=∠BPC=120°

(2)PA、B、C三顶点距离的和最小,且PA+PB+PC=AD=BE=CF

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证明:∵AF=AB,∠FAC=∠BAE,AC=AE,∴△AFC≌ABE.∴CF=BE

同理可证△BCF≌△BDA,CF=AD.∴AD=BE=CF.

∵△AFC≌ABE,∴∠AFC=∠ABE,∴∠BPF=∠BAF=60°,∠BPC=120°

同理可证∠APB=∠APC=120°,∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°.

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应用

例1.如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,∠ABC=150°AP+BP+PD的最小值.

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思考:若正方形ABCD内有一动点E,到点A、B、C三点的距离之和最小值为p,则此正方形的边长为________________.(含p的式子表示).

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变式2.如图,已知四个城市A、B、C、D的位置为正方形的四个顶点,现要建设高速公路连结A、B、C、D四个城市,请你设计出最短的高速公路的线路图。

(注:不计连接点的个数,使得总路程和最小.)

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拓展阅读

材料一 “最小势能原理”确定费马点

在物理有一个这样的“最小势能原理”(也称为狄利克雷原理PrincipleofDirichlet):“一个物体或系统当处于平衡位置时,它的势能是最小。如果一个物体或系统当所处的位置,使它的势能是最小,那么这点就是它的平衡位置。”因此我们可以利用这原理协助解决费马难题。

首先用铁线作和原三角形同大小的三角形,在每个顶点放上一个滑轮。每个滑轮穿过一个重量为m的重物。假定吊物体另外一端的线都绑在一起,这结点称为P。现在让重物重挂下来,这结点最初会移动,可是过一会儿它就不动了,这时正是整个系统处于平衡状态。这时你看那结点的所在位置就是所要找的“费马点”。为什么会如此呢?假定三角形与地面的距离是h 。滑轮A,B,C挂的重物与地面距离分别为a,b,c。绑重物的所有绳子长是t 。现在令整个系统的重心是G,并且距离地面是r。则系统的势能是 m·a+m·b+m·c=(3m)·rr=(a+b+c)/3在平衡位置时,重心最靠近地面,因为这样它的势能才是最小,因此此时 a+b+c 也是最小。吊在滑轮下的绳子共长(h-a)+(h-b)+(h-c)即3h-(a+b+c)。因此在△ABC里的平面绳子的长是等于:s=t-[3h-(a+b+c)]=(t-3h)+(a+b+c)。t-3h是一个固定数,s的长最小当且仅当a+b+c是最小。因此只有在系统平衡时,结点的位置必须是“费马点,才能使到a+b+c为最小。你看我们用物理方法轻而易举的找到“费马点”。

现在在铁三角形里的结点P受到三个相等的拉力拉。从物理学我们知道:“平面三力成平衡,那么三力线或者平行,或者交于一点。”因此如果我们用f表示这三个方向量,这三个向量是形成一个正三角形,而且其向量和要等于零。由此可知这些绳在“费马点”时所张开的角度是120 °

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材料二 最小光程原理即椭圆光学性质确定费马点

我们可以借助椭圆的光学性质来理解一下,即椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点,也即等价于椭圆上任意点的切线与两焦半径所夹的角相等。 如图

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上面我们说到三角形中的费马点到三顶点距离之和最小,再结合最小光程原理即椭圆光学性质,我们便会意识到椭圆上的P点会不会是三角形ABC内的费马点呢?

如下图 以BC为焦点,BP+PC为长轴作椭圆,以点A为圆心,AP为半径做圆,可证明它们相切于点P,公切线为l,根据椭圆光学性质,AP必平分∠BPC,可得∠APB=∠APC,同理也可证的∠APC=∠BPC可得点P与费马点吻合。

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